Jika sin (2x + 60°)=a dan sin (x+45°)=b maka sin (3x+105°) sin (x+15°)=

Jika [tex]\sf sin(2x + 60^{\circ}) = a[/tex] dan [tex]\sf sin(x+ 45^{\circ}) = b[/tex], maka nilai dari [tex]\sf sin(3x + 105^{\circ}) \cdot sin(x + 15^{\circ})[/tex] adalah [tex]\boxed{\sf a^{2} - b^{2}}[/tex] Selengkapnya dapat disimak pada pembahasan di bawah ini!

PENDAHULUAN

Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus perkalian trigonometri yaitu perkalian fungsi sinus dan rumus sudut rangkap trigonometri untuk fungsi cosinus.

Trigonometri adalah materi matematika yang berhubungan dengan perbandingan antara sudut dengan sisi pada segitiga.

Untuk menyelesaikan soal ini kita akan menggunakan rumus berikut, antara lain :

[tex]\displaystyle\blacktriangleright\boxed{\boxed{\bf sin~A~sin~B = \dfrac{1}{2}[(cos(A - B) - cos(A + B)]}} [/tex]

[tex]\displaystyle\blacktriangleright\boxed{\boxed{\bf cos~2A = 1 - 2\:sin^2~A}}[/tex]

Kembali ke soal, mari simak penyelesaiannya pada pembahasan di bawah ini!

PEMBAHASAN

Diketahui :

• [tex]\sf sin(2x + 60^{\circ}) = a[/tex]
• [tex]\sf sin(x + 45^{\circ}) = b[/tex]

Ditanya : [tex]\sf sin(3x + 105^{\circ}) \cdot sin(x + 15^{\circ})[/tex] = . . . ?

Jawab :

[tex]\displaystyle\rm = sin(3x + 105^\circ) \cdot sin(x + 15^\circ) [/tex]

[tex]\displaystyle\rm = \dfrac{1}{2}[cos(3x + 105^\circ - (x + 15^\circ)) - cos(3x + 105^\circ + (x + 15^\circ))][/tex]

[tex]\displaystyle\rm = \dfrac{1}{2}[cos(3x + 105^\circ - x - 15^\circ) - cos(3x + 105^\circ + x + 15^\circ)][/tex]

[tex]\displaystyle\rm = \dfrac{1}{2}[cos(2x + 90^\circ) - cos(4x + 120^\circ)][/tex]

[tex]\displaystyle\rm = \dfrac{1}{2}[cos\:2(x + 45^\circ) - cos\:2(2x + 60^\circ)][/tex]

[tex]\displaystyle\rm = \dfrac{1}{2}[1 - 2~sin^2(x + 45^{\circ}) - (1 - 2~sin^2(2x + 60^\circ))][/tex]

[tex]\displaystyle\rm = \dfrac{1}{2}(1 - 2b^2 - (1 - 2a^2)) [/tex]

[tex]\displaystyle\rm = \dfrac{1}{2}(1-2b^2 -1+ 2a^2)[/tex]

[tex]\displaystyle\rm = \dfrac{1}{2}(2a^2 - 2b^2 )[/tex]

[tex]\displaystyle\rm = a^2 - b^2 [/tex]

[tex]\displaystyle\boxed{\boxed{\rm\therefore sin(3x + 105^\circ) \cdot sin(x + 15^\circ) = a^2 - b^2 }} [/tex]

Kesimpulan : Jadi, berdasarkan langkah-langkah pengerjaan di atas dapat disimpulkan bahwa nilai dari [tex]\sf sin(3x + 105^{\circ}) \cdot sin(x + 15^{\circ}) = a^{2} -b^{2}[/tex]

PELAJARI LEBIH LANJUT

Materi tentang trigonometri lainnya dapat disimak di bawah ini :

• Jika cos x = 2 sin x, maka nilai sin x · cos x adalah brainly.co.id/tugas/269404
• Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 sin x – √3 = 0, untuk 0 < x < 2π brainly.co.id/tugas/180864
• Himpunan penyelesaian persamaan 4 sin² x – 5 sin x – 2 = 2 cos² x untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah brainly.co.id/tugas/10176293
• Nilai dari sin 285° adalah brainly.co.id/tugas/13094128
• Nilai cos 45° + cos 165° + cos 285° adalah brainly.co.id/tugas/1196093

____________________________

DETIL JAWABAN

Kelas : XI

Mapel : Matematika

Bab : Bab 2.1 - Trigonometri II

Kode : 11.2.2.1

Kata kunci : perkalian trigonometri, sudut rangkap trigonometri, pemisalan, substitusi